Misoppfatninger

Misoppfatninger i matematikk

Alle elever gjør i blant feil når de skal løse en matematikkoppgave. Sterke elever gjerne gjør tilfeldige feil som uteglemming av et siffer, det skyldes ikke at de ikke har forstått men heller en konsentrasjonssvikt, litt uoppmerksomhet. Selv om svake elever også gjør slike typer feil, er det mer typisk at de gjør systematiske tankefeil, eller logiske feil. Feilene går igjen som et mønster. En kan si at slike feilmønstre skyldes misoppfatninger.

Med misoppfatning mener vi en fastlagt oppfatning omkring et begrep som ikke er den det var meningen en skulle ha (Nygaard og Zernichow, 2006).

Misoppfatninger kan skyldes overgeneralisering av tidligere kunnskaper. Det holder ikke å generalisere ut fra begrensede erfaringer, da dannes det gjerne ufullstendige begreper. Det gjelder i matematikk som i livet ellers. Et eksempel på en overgeneralisering er:

«Når vi ganger blir svaret større og når vi deler blir svaret mindre».

Elevens erfaringer er fra starten av å regne med hele tall, og de er jo oftest større enn 1. Gangestykkene gir da alltid et svar som er større enn hver faktor, for eksempel 2 · 4 = 8. Når eleven bygger sin begrepsforståelse, er det mange slike konkrete erfaringer som abstraheres og etter hvert danner et begrep. Problemet her er at erfaringer som bare gjelder for en del av tallområdet også overføres til andre deler av tallområdet. Overgeneraliseringen finner sted når eleven overfører kunnskapen (for eksempel fra stykker som 2 · 4 = 8) til å gjelde også for små tall som ganges sammen:

«Da må dette også bli riktig: 0,2 · 0,4 = 0,8»

Gjennom KIM-prosjektet (Kvalitet i matematikkundervisningen) på 1990-tallet, kartla en blant annet elevers misoppfatninger. Her er et eksempel (Brekke, 2001) der elever skal finne ut hva slags regnestykke som kan løse oppgavene:

Gange m tall over 1

og

Gange m tall mindre enn en

De to oppgavene c) og d) har samme struktur, men i den siste opptrer et tall som er mindre enn 1. Vi ser i tabellen at mange av elevene som korrekt ganger i oppgave c, likevel deler i oppgave d.

Tab svarfordeling gange eller dele

En tolkning av dette kan være: Den riktige tenkemåten «overdøves» av andre erfaringer elevene har gjort, nemlig «divisjon gjør svaret mindre og multiplikasjon gjør svaret større».

Andre eksempler på misoppfatninger

Misoppfatninger finnes på mange ulike områder i matematikken. Her er et eksempel på Oles utregning av noen subtraksjonsstykker:

Vi ser at feilen er systematisk ved at Ole alltid trekker minste siffer fra største siffer uansett posisjon. Kanskje han husker at da han lærte å trekke fra, tok de alltid det største tallet minus det minste. Muligens lærte Ole også at man det går ikke å gjøre motsatt, og når han prøvde konkret så han at han ikke kunne trekke fra 6 kronestykker når han bare hadde 3! Denne kunnskapen har Ole generalisert videre til også å gjelde for tallsifrene i ulike posisjoner for et flersifret tall.

En annen misoppfatning som er utbredt (jeg har funnet den også hos lærerstudenter), er at to figurer med like lang omkrets også har like stort areal – og to med like stort arealareal også har like lang omkrets.

Figurene A og B har like store arealer. Hva kan vi si om omkretsene til de to?

Misoppf omkr-areal1

Eleven har kanskje lært at «jo større flate, desto lengre er omkretsen», og det stemmer jo i mange situasjoner:

Misoppf omkr-areal2

Men dette er jo en svært begrenset erfaring!

Mange ganger kan vi se elevers misoppfatninger i sammenheng med instrumentell forståelse. Kunnskapen er basert på å huske en regel eller en algoritme. Dette er jo også en begrenset erfaring.  

Hvis eleven glemmer eller blander sammen med en annen regel, blir det kaotisk!

Misoppfatn brøk

Oppfølging av elever med misoppfatninger

Elever som følger et feilmønster vil ofte ikke forstå at måten deres ikke fører fram til riktige løsninger. De regner nokså konsekvent videre slik de mener det er riktig. Mange vil ikke oppdage at de har en misoppfatning av begreper og da er det jo ingen grunn til å endre på framgangsmåtene. Regning med brøk er et godt eksempel, her er det ulike regler som lett kan blandes sammen:

  • Brøkmultiplikasjon – gange teller med teller og nevner med nevner.
  • Brøkdivisjon – gange den første brøken med den omvendte av den andre
  • Brøkaddisjon/ -subtraksjon – utvide så brøkene får felles nevner, legge sammen/ trekke fra i teller og beholde nevneren
  • Utvide/ forkorte: Gange eller dele teller og nevner med samme tall.

Hvis eleven i tillegg er usikker på hva en brøk egentlig uttrykker, er det gode forutsetninger for å gjøre feil. Da kan det godt bli slik som «Eskil» gjør her:Feil regel, brøkaddisjon

Hvordan var nå regelen? Var det ikke teller med teller og nevner med nevner?

Det ser ut til å fungere bra. Og hvis «Eskil» ikke har noe klart bilde av brøkstørrelsene 2/5, ¾ og 5/9, er det ikke lett å vurdere om svaret er riktig eller galt! Men denne måten å regne på kan fungere godt for «Eskil» og han kan produsere mange slike oppgaver i løpet av en mattetime.

Også elever som subtraherer uten å veksle, slik som «Thea» her, kan bli sittende å «løse» mange oppgaver uten å se at svaret blir galt. Trekke fra uten å veksleOg hvis læreren får tid til å rette oppgavene, er det ofte noen «Thea» har gjort riktige også. Og da er hun fornøyd!

«Eskil» og «Thea» hører med i en elevgruppe som regner systematisk feil i ett eller flere emner. De opplever selv at de løser mange oppgaver, og hvis ingen blander seg borti går det helt fint. Motivasjonen til å lære å regne på en annen måte vil derfor oftest være liten. Hvis læreren kan la eleven oppdage selv at framgangsmåten ikke kan være rett og gjerne at å fortsette med feilmønsteret kan få negative konsekvenser, er muligheten for å motivere eleven til å lære på nytt større. Her tenker vi på at eleven skal få oppleve en «kognitiv konflikt».

Kognitiv konflikt

Brøfigurer

 

«Eskil» har ikke et godt utviklet brøkbegrep, men han klarer å uttrykke brøk i enkle figurer som dette. Et problem for ham er at når han regner på sin måte, ser han ikke at det blir feil. Kan læreren gi «Eskil» en utfordring der han oppdager at det han gjør må bli feil?

Læreren gir «Eskil» oppgaven ½ + ½. Og «Eskil» løser den slik:

 

 

 

 

Da ber læreren «Eskil» tegne opp brøkene i regnestykket og vise hvordan det blir. «Eskil» tegner opp:Eskil møter kogn konfl, brøkaddisjon

I refleksjonen sammen med læreren innser «Eskil» at regnestykket hans ikke kan bli riktig. Han opplever en konflikt mellom den måten han bruker å tenke på og den tenkningen han får ut fra det figurene viser. Når han slik blir overbevist om at det han har gjort før blir feil, får han lyst til å finne ut hvordan han kan gjøre det på riktig måte.

«Theas» lærer har også lagd noen oppgaver hun får prøve seg på. Noen av dem ser slik ut:

Thea møter kogn konfl, subtraksjon

Når «Thea» prøver seg på sin vanlige måte, vil hun forhåpentlig oppdage at svarene på de to første oppgavene faktisk blir større enn det opprinnelige tallet. Hvis hun er klar over hva subtraksjon vil si, vil hun trolig begynne å lure på hva som er galt: Er det en slurvefeil, kanskje? Men hendelsen gjentar seg for hvert stykke og på oppgaver som c) får hun et merkelig svar. Om «Thea» likevel ikke innser at hennes måte å regne på ikke kan stemme, kan læreren forsøke å knytte oppgavene til hverdagslige situasjoner:

Burgeroppgave

Her vil«Thea» trolig oppleve en kognitiv konflikt. Hun har en måte å regne på som hun mener fungerer godt. Når hun regner slik i dette praktiske eksemplet, finner hun ut at hun har like mye penger etter at hun har betalt som før! Dette vil motivere til å lære subtraksjon på nytt!

Hvor godt fungerer egentlig kognitiv konflikt?

Det er forsket på læringsutbytte ved bevisst bruk av kognitiv konflikt i undervisningen sammenliknet med andre typer tilnærming. I heftet «Introduksjon til diagnostisk undervisning» beskriver Gard Brekke (2002) konklusjoner fra tre slike prosjekter. Elevene som arbeidet gjennom kognitive konflikter og fikk diskutere misoppfatninger, hadde signifikant større framgang enn sammenlikningsgruppen. Dette er spesielt tydelig når en ser på langtidslæringen, hvilke kunnskaper elevene sitter igjen med noen måneder etter at emnet er undervist. Framgangen gjelder både svake og flinke elever.

Undersøkelsene viste også at elevene i «konfliktgruppene» viste økende interesse og engasjement gjennom undervisningsperioden, mens engasjementet til dels gikk ned i den andre gruppen.